要修复Google Chrome浏览器下载完成后历史记录同步问题，可以尝试以下方法：
1. 清除缓存和Cookies。在Chrome浏览器的菜单栏中选择“更多工具”>“清除浏览数据”，然后勾选“自动填充表单数据”、“Cookies和网站数据”和“保存的密码”。最后点击“清除数据”。
2. 更新Chrome浏览器到最新版本。访问Chrome浏览器的官方网站（https://www.google.com/chrome/）并检查是否有可用的更新。如果有更新，请按照提示进行更新。
3. 尝试使用其他浏览器。如果上述方法无法解决问题，可以尝试使用其他浏览器，如Firefox、Edge等，看是否能解决同步问题。
4. 检查网络连接。确保您的设备已连接到互联网，以便从服务器下载所需的文件。
5. 重启计算机。有时候，重启计算机可以解决一些临时性的问题。
如果以上方法都无法解决问题，您可以考虑联系技术支持或寻求专业帮助。